Ο Χρίστος Παπακυριακόπουλος γεννήθηκε στην Αθήνα το 1914 και ήταν ένα από τα δύο παιδιά μιας εύπορης αθηναϊκής οικογένειας. Φοίτησε στο Βαρβάκειο και από νωρίς φάνηκε η έφεσή του στα μαθηματικά. Το 1933, κατά τη βούληση του πατέρα του, εισήχθη στο ΕΜΠ στη Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, μιας και ο τελευταίος δεν επιθυμούσε ο γιος του να γίνει «δασκαλάκος». Εκεί, ο Κρητικός (μαθηματικός που είχε ασχοληθεί με την τοπολογία και τις καμπύλες Jordan, έχοντας γνωρίσει τον Καραθεοδωρή στο Μόναχο) πρόσεξε τις δυνατότητες του Παπακυριακόπουλου και τον ώθησε να εγκαταλείψει το ΕΜΠ για να φοιτήσει στο Μαθηματικό. Εκεί, διάβαζε σκληρά, σε μεγάλο βαθμό μόνος του, και γρήγορα του κέντρισε το ενδιαφέρον ο νέος κλάδος των μαθηματικών, η τοπολογία (που θυμίζει τη γεωμετρία αλλά ασχολείται περισσότερο με τις ποιοτικές παρά με τις ποσοτικές πτυχές των αντικειμένων της).
Το 1937, όταν ο Καραθεοδωρή βρισκόταν στην Αθήνα, ο Κρητικός παρότρυνε τον Παπακυριακόπουλο να του δώσει την εργασία του σχετικά με τις κλειστές καμπύλες Jordan, την οποία ο Καραθεοδωρή επαίνεσε ιδιαίτερα σε επιστολή του, χαρακτηρίζοντάς την ως «κομψότατη». Το 1938, ολοκλήρωσε με άριστα τις σπουδές του στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών και συνέχισε για το διδακτορικό του. Όμως, σύντομα κλήθηκε να πολεμήσει στο Αλβανικό Μέτωπο στον Β’ Παγκόσμιο Πόλεμο, και σε ένα γράμμα του προς τον Νικόλαο Κρητικό, τον παρακαλεί, σε περίπτωση που δεν επιστρέψει από τον πόλεμο, να δημοσιεύσει εκείνος τη διδακτορική του διατριβή.
Μετά από πολλές δυσκολίες, το 1943 δημοσίευσε τη διατριβή του, στην οποία απολογείται στους αναγνώστες για τυχόν τυπογραφικά λάθη που προσπάθησε να εξαλείψει αλλά ενδεχομένως παρέμειναν, καθώς δεν είχε τη δυνατότητα να την επανεξετάσει ενδελεχώς, λόγω του πληθωρισμού στην Ελλάδα και των πολύ υψηλών τιμών χαρτιού, ενώ η πολεμική κατάσταση έκανε εξίσου αβέβαιη και τη ζωή του. Μετά την επιστροφή του από το μέτωπο, κατά την Κατοχή, διορίστηκε ως βοηθός του Κρητικού στο Πολυτεχνείο, από το οποίο απολύθηκαν και οι δύο λόγω πολιτικών πεποιθήσεων. Ο Παπακυριακόπουλος ήταν ενεργό μέλος της αριστεράς και του κομμουνιστικού κινήματος, βοηθώντας στη μεταφορά μηνυμάτων και στο κρύψιμο καταζητούμενων. Μετά τα Δεκεμβριανά του 1944, κατέφυγε στα βουνά με τους αντάρτες του ΕΑΜ, όπου δίδασκε αριθμητική σε σχολείο σε χωριό κοντά στην Καρδίτσα. Ταυτόχρονα, ο νονός του, που ήταν υπουργός Εσωτερικών, τον αναζητούσε για να τον διορίσει δήμαρχο Χαλανδρίου, αλλά χωρίς επιτυχία. Εκείνη την εποχή, έχασε τον αδελφό του, ο οποίος πολεμούσε τους Γερμανούς με την Ταξιαρχία Ρίμινι στη Βόρεια Ιταλία.
Περί το 1947, έστειλε γράμμα στον Fox του Πανεπιστημίου Princeton, στο οποίο περιλάμβανε την απόδειξη που είχε βρει για το λήμμα του Dehn, αν και η απόδειξη είχε ένα λάθος που εντόπισε ο Fox. Παρά το λάθος, ο Fox διέκρινε τις ιδιαίτερες ικανότητές του και του πρότεινε να πάει στο Princeton για έρευνα, εξασφαλίζοντας του θέση χωρίς διδακτικά καθήκοντα και χωρίς περιορισμούς στις έρευνές του. Το 1950, επέστρεψε στην Ελλάδα όταν η μητέρα του αρρώστησε από καρκίνο και, μετά τον θάνατό της, επέστρεψε το 1951, έχοντας κάνει τη διαθήκη του, με την οποία άφησε σχεδόν όλη του την περιουσία στο ΕΜΠ (ακόμα υπάρχει κληροδότημα Παπακυριακόπουλου, το οποίο χρηματοδοτεί υποτροφίες άριστων μεταπτυχιακών και διδακτορικών φοιτητών).
Με την επιστροφή του, βυθίστηκε στις σπουδές του και σύντομα κατάφερε να αποδείξει τρία θεμελιώδη θεωρήματα της τοπολογίας: το Θεώρημα του Βρόγχου, το Λήμμα του Dehn (αυτή τη φορά χωρίς λάθος) και το Θεώρημα της Σφαίρας, τα οποία αποτελούν τα θεμέλια της τοπολογίας χαμηλών διαστάσεων. Η επιτυχία του τον οδήγησε να λάβει το βραβείο Veblen στη Γεωμετρία το 1964. Ο Παπακυριακόπουλος μετατράπηκε σε θρύλο του Princeton, ενώ ο Χρίστος Παπαδημητρίου τον χαρακτήριζε ως ήσυχο, απόμακρο και πολύ ευγενή. Τα τελευταία χρόνια της ζωής του τα αφιέρωσε στην απόδειξη της Εικασίας του Πουανκαρέ, αν και δεν την απέδειξε ποτέ ο ίδιος, όπως συμβαίνει με πολλούς μαθηματικούς, η μακροχρόνια έρευνά του συνέβαλε σημαντικά στην τελική απόδειξη της εικασίας.
Ο Χρίστος Παπακυριακόπουλος υπήρξε ένας από τους θεμελιωτές της σύγχρονης τρισδιάστατης τοπολογίας και έθεσε τις βάσεις για την ανάπτυξη του κλάδου.